平面方程与矩阵

线性方程的几何意义

二元线性方程

初中地理 1

  该方程是一个二元线性方程组,包括七个方程,每个方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,那就是二元线性方程的几何意义。

初中地理 2

初中地理,平面方程

  空间内不在同从来线上的三点组成一个平面,平面方程可代表为ax

  • by + cz = d。平面方程也号称安慕希线性方程。

  方程x + 4y + z =
8,在xyz多少个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图:

初中地理 3

  须要小心的是,平面是无比延长的。

依照法向量求平面方程

  现在亟待找到一个过原点的平面,它有一个过原点的法向量是<1,
5, 10>。

 

 初中地理 4

  如上图所示,P<x, y,
z>是所求平面上的向量,法向量N⊥OP,因此:

 初中地理 5

  这就是平面方程。

  再看一个稍稍不一致点的题材,一个平面的法向量是N<1,
5, 10>,该平面经过P0(2, 1, -1),求该平面方程。

  由于所有同一个法向量,所以那是与上一个平面平行的平面:

初中地理 6

  平面上的任意点P1是(x, y,
z),向量P0P1N

初中地理 7

  上边多个方程唯一的分歧点就是ax + by +
cz = d
中的d,其余参数对应了通过原点的法向量,实际上,d五个平行平面的离开。按照那几个特性,可以疾速求得第四个平面方程:

初中地理 8

 

  示例

  向量V = <1, 2, -1>与平面x +
y + 3z = 5的关系?

  平面的法向量N = <1, 1,
3>,容易见到,V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 =
0,VN,向量V与平面平行。要求注意的是,向量不是点(实际上向量有无数点),<1,
2, -1>差异于(1, 2,
-1),在平昔不异样表明的情形下,可以认为向量从原点出发。如若向量V从原点出发,V由此点(1,
2, -1),但该点并不在平面上。

平面方程组的解

  安慕希线性方程组初中地理 9,设多少个平面分别是P1,P2,P3,该方程组有唯一解,即那四个平面相交于少数,多个方程两两相交于一条直线:

初中地理 10

  平面方程组也恐怕出现无解的场合,一种典型的动静是多少个平面平行。如若P1∩P2≠φ,即双方相交于一条直线,按照P3的地方,平面方程组可能有唯一解,无解,或有无数解。上面是无数解和无解的情事:

 初中地理 11

洋洋解和无解

  统计一下,如若P1与P2会友,它们的交线:

  1. 与P3会友于少数,则方程组有唯一解;
  2. 在P3上,则方程组有无数解;
  3. 与P3平行,且不在P3上,方程组无解。

  当然,如果P3与P1或P2中一个同等,则会聚是一个平面。

点到平面的距离

  平面方程是ax + by + cz =
d,平面外一点P = (x0, y0,
z0),求该点到平面的距离。

 

初中地理 12

  PQ垂直于平面,现在要求PQ的长短,然而并不知道Q点的现实性数值。

  设P’ = (x1, y1,
z1)是平面上的一些,现在将题目转换为向量:

 初中地理 13

  向量QPP’
P
在法向量N动向上的重量,也就是P’
P
N如出一辙方向的单位向量的点积。(可参考《线性代数笔记3——向量2(点积)》)设距离为D,则:

 初中地理 14

求解线性方程

  当然能够选拔初中的代数知识求解线性方程组,那里最主要商量什么用矩阵求解。

消元法

  初中地理 15

  首先将方程组以矩阵的不二法门表示:

初中地理 16

  该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以省略未知数:

 初中地理 17

  现在得以对其展开消元,首先消去x,方法与常见代数法类似:

初中地理 18

  用同一的章程对y消元:

初中地理 19

  矩阵第三行对应-31z = 62,z = -2

  最终可解得初中地理 20

  可以见到,消元法本质上与初中的代数法没有区分,只是换了一种较为容易的表现方式,对于多元线性方程组,其消元进度分外繁琐。

矩阵法

  初中地理 21

  那里必要选用列向量的概念,列向量是一个
n×1
的矩阵,即矩阵由一个带有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。

  将上面的方程组用矩阵和向量表示:

初中地理 22

初中地理 23

  实际上可看作 x =
b/A,有点意思了,可以由此一个除法运算直接求得方程的解。

初中地理 24

  解得初中地理 25

  对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。

  我们用python求解消元法中的方程组初中地理 26

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

  初中地理 27

无解的方程组

  线性方程组在用矩阵向量法转换后,假设矩阵A是奇异矩阵,A-1尚未概念,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。

  如
 初中地理 28,该方程组无解,
初中地理 29 是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像:

初中地理 30

示例

示例1

  求上面的平面方程:

  a)       已知平面的法向量N =
<1, 2, 3>,平面过点(1, 0, -1)

  b)      
平面过原点且平行于四个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2,
0>

  c)       平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1,
1), P3(2, 0, 0)

  d)      
平面与a中的平面平行,且经过点(1 , 2, 3)

 

  a.

  平面方程ax + by + cz = d,N =
<1, 2, 3> =<a, b, c>,所以平面方程是x + 2y + 3z = d

  将点(1, 0, -1) 代入平面方程,1 + 0 -3
= -2 = d

  平面方程是 x + 2y + 3z = -2

 

  b.

  平面方程ax + by + cz = d

  ∵AB过原点,且与平面平行,并且平面过原点

  ∴AB在平面上,d = 0

  已知平面上八个个向量从同一些起身的向量,总计平面的法向量:

 初中地理 31

  平面方程是 2x + y + 2z = 0

  根据叉积计算法向量可参看《线性代数笔记4——向量3(叉积)

 

  c.

 初中地理 32

  平面方程2x + y – 3z =
d,取任意点代入,d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

 

  d.

  a的平面是x + 2y + 3z =
-2,由于该平面平行于a,所以该平面是x + 2y + 3z = d。

  将点(1 , 2, 3)代入,1 + 2×2 + 3×3 = 14
= d

  平面方程是x + 2y + 3z = 14

 示例2

  求原点到平面2x + y -2z =
4的离开。

初中地理 33

 

总结

  1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是双边的交点
  2. 长富线性方程组的几何意义是三维空间上的多个平面,可能存在唯一解、无数解或无解
  3. 平面方程用ax + by + cz =
    d,点到平面的偏离初中地理 34
  4. 如若线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵,则该方程组无解

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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